Loi multinomiale de paramètres \(n\in{\Bbb N}^*,p_1,\ldots,p_r\in[0,1]\), avec \(p_1+\ldots+p_r=1\) :
\(n\) expériences aléatoires ont chacune \(r\) résultats possibles de probabilités respectives \(p_1,\ldots,p_r\)
On note \(X_i\) le nombre de fois où l'on obtient le résultat de type \(i\)
$$\begin{align}&{{(X_1,\ldots,X_r)\sim\mathcal{Mult}(n,p_1,\ldots,p_r)}}\\ \iff& P(X_1=n_1,\ldots,X_r=n_r)=\begin{cases}\displaystyle {{n!\prod^r_{i=1}\frac{p_i^{n_i} }{n_i!} }}&\text{si}\quad {{n_1+\ldots+n_r=n}}\\ {{0}}&\text{sinon.}&\end{cases}\end{align}$$
(Factorielle)
Remarque : $${{\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!} }}={{\binom n{k_1}\binom{n-k_1}{k_2}\cdots\binom{ n-k_1-\ldots-k_{r-1} }{k_r} }}$$