Loi multinomiale

Loi multinomale de paramètres $n$, $p_1,\dots,p_r$ avec $p_1+\dots+p_r=1$
Loi du vecteur $(N_i)_i$ avec $N_i=\sum_{k=1}^n\Bbb 1_{X_k=i}$, lors d'une répétition de $n$ expériences avec $r$ résultats possibles.

formule : ${\Bbb P}(N_1=n_1,\dots,N_r=n_r)=$ $\begin{cases} n!\prod^r_{i=1}\frac{p_i^{n_i} }{n_i!}&\text{si}\quad n_1+\dots+n_r=n\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$
formule clé lors du calcul de cette loi : $$\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!} =\binom n{k_1}\binom{n-k_1}{k_2}\cdots\binom{ n-k_1-\ldots-k_{r-1} }{k_r}$$
Espérance : ${\Bbb E}[N_i]=$ $np_i$
Covariance : $\operatorname{cov}(N_i,N_j)=$ $\begin{cases} -np_ip_j&\text{si}\quad i\ne j\\ -np_i(1-p_i)&\text{sinon.}&\end{cases}$
on parle de loi multinomiale symétrique si $p_i=\frac1r$ pour tout $i$

Exercices

Lors d'un congrés à Grenoble, $n$ chercheurs se répartissent de façon aléatoire et indépendamment les unes des autres dans les $r\gt 1$ hôtels, $H_1,\dots,H_r$ de la ville
On désigne par $p_i\in\,]0,1[$ la probabilité pour chaque chercheur d'aller dans l'hôtel $H_i$, de sorte que $\sum^r_{i=1}p_i=1$, et par $X_i$ le nombre de personnes qui vont dans l'hôtel $H_i$ pour $i\in\{1,\dots,r\}$
$X\sim\mathcal{Bin}(n,p)$. Déterminer $P(X_1=n_1,\dots,X_r=n_r)$ pour tout $r$-uplet $(n_1,\dots,n_r)$ tels que $n_1+\dots+n_r=n$

Identifier la loi + justification
On a $$(X_1,\dots,X_r)\sim\mathcal Mult(n,p_1,\dots,p_n)$$ car chaque $X_i$ représente le nombre de résultats de type $i$ (nombre de chercheurs dans $H_i$) parmi $n$ expériences indépendantes avec probas $p_1,\dots,p_r$ de donner le résultat $H_1,\dots,H_r$
Donc $$P(X_1=n_1,\dots,X_r=n_r)=n!\prod^r_{i=1}\frac{p_r^{n_i}}{n_i!}$$

Math'φsics

Formulaire de report

Exercices